Abstract

In this dissertation I discuss mathematical flexibility and the learning of mathematics using comparison tasks and intentional errors. The term “flexibility” is used to denote the ability to produce different strategies for tackling a given task and choose the most appropriate. I use the term “comparison task” to mean an example where the solutions to a task by two imaginary pupils’ are presented and examined by using given questions. The task may include some typical, intentional error. By using comparison tasks, it is possible, according to previous research, to develop mathematical skills and flexibility. Flexibility is important in mathematics for solving problems of different types, as well as for developing thinking. Furthermore, the use of intentional errors has produced good learning results in quantitative research. However, from a qualitative perspective, comparison tasks and especially intentional errors are still under-researched.

My dissertation includes four articles and the summary. The research material consists of 266 students’ answers to an equation solving test; the recorded discussions of 25 class teachers, subject teachers and teacher trainees; 23 mathematics teachers’ answers to a questionnaire and classroom discussions (4 teachers, 74 pupils). The research methods are quantitative (regression analysis and cross tabulation) and qualitative (phenomenography, content analysis and case study).

The flexibility of the Finnish students who participated in the research was not very high. According to the teachers’ conceptions and beliefs, comparison tasks and intentional errors could be used to help improve for example the ability to view problems from different perspectives, analytic skills and learning to live with errors. A teacher’s role could develop into more that of a coach. These tasks seemed to be useful in the classroom. On the other hand, teachers were concerned about whether pupils possess the skills or interested to use these methods or if they may confuse an erroneous solution with the right one. On the whole, teachers’ openness to these task types suggested that flexibility could be brought to the school classroom, but teachers’ concerns about, for example, students’ pre-knowledge or possible misconceptions should be considered in teacher training and future research.

Tiivistelmä

Käsittelen väitöskirjassani matemaattista joustavuutta sekä matematiikan opiskelua vertailutehtävien ja tarkoituksellisten virheiden kautta. Joustavuudella tarkoitan kykyä tuottaa erilaisia ratkaisutapoja ja valita niistä sopivin. Vertailutehtävällä puolestaan tarkoitan esimerkkiä, jossa on kahden kuvitteellisen oppilaan ratkaisutavat, joita tutkitaan annettujen kysymysten avulla. Tehtävään voi olla upotettu jokin tyypillinen, tarkoituksellinen virhe. Vertailutehtävät edistävät aiemman tutkimuksen mukaan matematiikan osaamista ja joustavuutta. Joustavuus on tarpeen matematiikassa, jotta voi ratkaista erityyppisiä tehtäviä ja kehittää ajattelua. Niin ikään tarkoituksellisten virheiden käyttö on aiemmissa määrällisissä tutkimuksissa tuottanut hyviä oppimistuloksia. Laadullisesti vertailutehtäviä ja varsinkin tarkoituksellisia virheitä on kuitenkin tutkittu melko vähän.

Väitöskirjani koostuu neljästä artikkelista ja niiden yhteenvedosta. Tutkimusaineistonani ovat 266 oppilaan vastaukset yhtälönratkaisutestiin, 25 luokan- ja aineenopettajan sekä opettajaopiskelijan keskustelujen äänitykset, 23 matematiikan opettajan kyselyvastaukset ja luokkahuonekeskustelut (4 opettajaa, 74 oppilasta). Tutkimusmenetelmäni ovat määrällisiä (regressioanalyysi ja ristiintaulukointi) ja laadullisia (fenomenografia, sisällönanalyysi ja tapaustutkimus).

Tutkimukseen osallistuneiden suomalaisoppilaiden joustavuus ei ollut kovin suurta. Opettajien käsitysten ja uskomusten mukaan vertailutehtävien ja tarkoituksellisten virheiden kautta voitaisiin kehittää esimerkiksi asioiden näkemistä eri tavoin, analysointitaitoja ja virheiden kanssa elämään oppimista. Opettajan rooli voisi muuttua opettajasta enemmän valmentajaksi. Luokkahuonetilanteessa tehtävien käyttö vaikutti hyödylliseltä. Toisaalta opettajat olivat huolissaan, onko oppilailla valmiuksia tai kiinnostusta menetelmien käyttöön tai sekoittaisivatko oppilaat virheellisen ratkaisutavan oikeaan. Kaiken kaikkiaan opettajien avoimuus tehtävätyyppejä kohtaan osoitti, että joustavuutta voitaisiin tuoda kouluympäristöön. Opettajien huolet esimerkiksi tarvittavista esitiedoista tai oppilaiden mahdollisista väärinkäsityksistä tulisi kuitenkin huomioida koulutuksissa ja jatkotutkimuksessa.

Osajulkaisut / Original papers

Osajulkaisut eivät sisälly väitöskirjan elektroniseen versioon. / Original papers are not included in the electronic version of the dissertation.

1. Hästö, P. & Palkki, R. (2019). Finnish students’ flexibility and its relation to speed and accuracy in equation solving. NOMAD: nordisk matematikkdidaktikk, 24(3–4), 43–58.

   Rinnakkaistallennettu versio / Self-archived version

2. Palkki, R. (2018). Matematiikan opettajien ja opettajaopiskelijoiden käsityksiä vertailumenetelmästä. LUMAT: International Journal of Math, Science and Technology Education, 6(1), 105–128. https://doi.org/10.31129/LUMAT.6.1.327

   Rinnakkaistallennettu versio / Self-archived version

3. Palkki, R., & Hästö, P. (2018). Mathematics teachers’ reasons to use (or not) intentional errors. Teaching Mathematics and Computer Science, 16(2), 263–282. https://doi.org/10.5485/TMCS.2018.0453

   Rinnakkaistallennettu versio / Self-archived version

4. Palkki, R. (2016). Virheellinen esimerkki matematiikan luokkahuonekeskustelussa. In H. Silfverberg & P. Hästö (Eds.), Proceedings of Annual Symposium of the Finnish Mathematics and Science Education Research Association 2015 (pp. 111–121). (Matematiikan ja luonnontieteiden opetuksen tutkimusseura r.y.). Matematiikan ja luonnontieteiden opetuksen tutkimusseura.