Abstract

This dissertation concerns the geometry of self-similar, self-affine and self-conformal sets and measures in Euclidean spaces. The aim is to determine whether certain geometric and arithmetic properties of such objects are completely or partially determined by algebraic or dynamical properties of the defining iterated function systems. Three research objectives are formulated in order to approach this theme from different perspectives. The results of this dissertation are based on the four research articles I–IV.

The first objective is to obtain more refined information on the size of self-similar sets: Which self-similar sets are tube-null, that is, can be covered with tubular neighbourhoods of affine hyperplanes of arbitrarily small total volume? We make progress towards this objective by providing a large class of new non-trivial self-similar sets that are tube-null, including the classical Sierpinski carpet and the Menger sponge. Previously, only a few such examples were known in the literature.

The second objective is to provide comprehensive descriptions of the local structures of self-affine and self-conformal measures. We make progress by describing the local sceneries of irreducible planar self-affine measures with weaker assumptions than those present in the existing literature, and obtain a complete description for the local statistics of self-conformal measures on the line without assuming any separation conditions from the defining iterated function systems.

The third objective is to show that, in general, there is no geometric resonance between two self-affine or two self-conformal measures, that is, their convolution has the largest possible Hausdorff dimension. It is conjectured that there can be geometric resonance between such measures only if there is arithmetic resonance between the defining iterated function systems. The results of this thesis verify this principle for arbitrary self-conformal measures on the line without any separation conditions, and for a large class of self-affine measures on the plane. The result for self-affine measures provides what seems to be the first evidence of this phenomenon in higher dimensions.

Tiivistelmä

Fraktaaleiksi kutsutaan yleisesti sellaisia olioita, joiden keskinäinen vertailu ei onnistu perinteisen geometrian keinoin. Ominainen piirre fraktaalille on esimerkiksi uusien yksityiskohtien esiintyminen mikroskooppisen pienilläkin mittakaavoilla. Vaikka teoreettisia esimerkkejä fraktaaleista on tutkittu jo pitkään, sovellukset matematiikan ulkopuolelle ovat suhteellisen tuoreita: Fraktaaligeometrian menetelmiä käytetään poikkeuksellisen epäsäännöllisten olioiden mallintamiseen ja tutkimiseen, kuten osakemarkkinoiden vaihteluiden ennustamiseen ja syöpäsolujen erottamiseen terveistä.

Matemaattisesti fraktaalin voi usein mallintaa itsesimilaarina, -affiinina tai -konformina joukkona; esimerkkejä tällaisista on kuvattu luvun 1 kuvassa 1. Tämän väitöskirjatutkimuksen tarkoituksena on löytää uusia perustavanlaatuisia eroja tällaisten fraktaalien rakenteissa, sekä osoittaa, että yleisesti nämä rakenteet eivät tuhoudu, vaikka fraktaalia altistaisi vääristymille. Näiden teemojen lähestymiseksi eri näkökulmista muotoillaan kolme tutkimustavoitetta, joihin tämä väitöskirjatutkimus pyrkii vastaamaan tutkimusartikkelien I–IV tulosten pohjalta.

Ensimmäinen tavoite on vertailla itsesimilaarien joukkojen kokoa aiempaa tarkemmin: Mitkä itsesimilaarit joukot ovat tuubiohuita (tube-null), eli tehokkaasti peitettävissä suorien ympäristöillä? Väitöskirja esittää tähän kysymykseen osittaisen vastauksen esittelemällä suuren määrän uusia, epätriviaaleja tuubiohuita itsesimilaareja joukkoja, kuten Sierpinskin matto tasossa.

Toinen tavoite on kuvata tyhjentävästi itseaffiinien ja -konformien mittojen paikallista rakennetta. Väitöskirjan tulokset vastaavat tähän tavoitteeseen kuvaamalla tason itseaffiinien mittojen paikallista rakennetta aiempaa yleisemmillä säännöllisyysoletuksilla ja tarjoamalla tyhjentävän kuvauksen kaikkien itsekonformien mittojen paikallisesta rakenteesta.

Kolmas tavoite on osoittaa, että itseaffiinien ja -konformien mittojen välillä ei yleisesti ole geometrista resonanssia. Yleisesti otaksutaan, että resonanssia kyseisten mittojen välillä voi olla vain, mikäli ne määrittävät iteroidut funktiosysteemit resonoivat aritmeettisesti. Väitöskirjan tulokset vahvistavat tämän periaatteen kaikille suoran itsekonformeille ja suurelle joukolle tason itseaffiineja mittoja.

Osajulkaisut / Original papers

Osajulkaisut eivät sisälly väitöskirjan elektroniseen versioon. / Original papers are not included in the electronic version of the dissertation.

1. Pyörälä, A., Shmerkin, P., Suomala, V., & Wu, M. (in press). Covering the Sierpinski carpet with tubes. Israel Journal of Mathematics. http://arxiv.org/abs/2006.00499

2. Pyörälä, A. (2021). The scenery flow of self-similar measures with weak separation condition. Ergodic Theory and Dynamical Systems, 42(10), 3167–3190. https://doi.org/10.1017/etds.2021.86

   Rinnakkaistallennettu versio / Self-archived version

3. Pyörälä, A. (2023). Resonance between planar self-affine measures. Manuscript submitted for publication. http://arxiv.org/abs/2302.05240

4. Bárány, B., Käenmäki, A., Pyörälä, A., & Wu, M. (2023). Scaling limits of self-conformal measures. Manuscript submitted for publication. http://arxiv.org/abs/2308.11399