JultikaUniversity of Oulu repository

Tässä tutkielmassa on käsitelty ratkeavia ryhmiä, ja tarkasteltu ryhmän ratkeavuutta sen kertaluvun suhteen. Tärkeänä aputuloksena ratkeavuustarkasteluissa on käytetty Sylowin lauseita. Lopuksi on osoitettu ratkeaviksi kaikki sellaiset ryhmät, joiden kertaluku on jokin luku yhdestä sataan, poislukien luku kuusikymmentä. Luvussa yksi on määritelty ryhmäteorian peruskäsitteitä, kuten ryhmä, aliryhmä, syklinen ryhmä, normaali aliryhmä, tekijäryhmä sekä kompleksi. Lisäksi on esitelty joitakin jatkon kannalta olennaisia tuloksia, kuten esimerkiksi Lagrangen lause ja Homomorfismien peruslause. Toisessa luvussa on määritelty konjugaatti, konjugointiluokat, kaksoissivuluokat sekä permutaatioryhmän rata. Lisäksi on esitelty lisää tärkeitä aputuloksia, joita ovat muun muassa Luokkayhtälö ja Cauchyn lause. Kolmannessa luvussa on käsitelty Sylowin lauseita, jotka ovat tärkeitä työkaluja Sylowin p-aliryhmien tutkimiseen. Ennen sitä on määritelty Sylowin p-aliryhmä, sekä sen ominaisuudet. Neljännessä luvussa on määritelty kommutaattori, kommutaattorialiryhmä sekä ratkeava ryhmä. Luvussa on lisäksi esitelty muutamia ratkeavuuskriteerejä ja erityisesti on tarkasteltu ryhmän ratkeavuutta sen kertaluvun suhteen. Lopuksi on annettu esimerkkejä ratkeavuustarkasteluista kun ryhmän kertaluku tunnetaan. Tässä luvussa on osoitettu ratkeavuus niille ryhmille, joiden kertaluku on korkeintaan sata, muttei kuitenkaan kuusikymmentä.