JultikaUniversity of Oulu repository

Tässä pro gradu -tutkielmassa tutustutaan differentiaaligeometriaan tutkimalla n-ulotteisten suunnattujen pintojen geometriaa n+1-ulotteisessa avaruudessa. Tällaisia pintoja tarkastellaan säännöllisten funktioiden tasa-arvojoukkoina. Kolmiulotteista kuvaajaa, kuten maanpintaa, voi tutkia tasa-arvokäyrien avulla tasossa. Näin voidaan helpottaa kuvaajan luonnostelua. Kuvaajan hahmottelu neljännessä ulottuvuudessa voi kuitenkin olla mahdotonta, jolloin juuri tasa-arvojoukkojen tutkiminen voi olla paras tapa tutkia funktion käyttäytymistä. Vektorikentillä on tärkeä rooli funktion tasa-arvojoukkojen tutkimisessa. Vektorikenttien analyysi on tärkein ja luonnollisin työkalu differentiaaligeometrian teorian kehittämisessä. Vektorikenttien yhteydessä selviää mitä ovat n+1-ulotteinen vektoriavaruus, pistetulo, funktion tai vektorikentän sileys, gradientti, integraalikäyrä ja olemassaololause. Jokaisessa sileän funktion säännöllisen pisteen p tasa-arvojoukossa on tangenttiavaruus, joka koostuu kaikista tasa-arvojoukon kaikkien pisteen p kautta kulkevien parametrisoitujen käyrien nopeusvektoreista. Esimerkiksi pallon tangenttiavaruus on taso, joka koskettaa pallon pintaa yhdessä pisteessä ja on kohtisuorassa tuohon pisteeseen piirrettyä pallon sädettä vastaan. Pintoja eri avaruuksissa kutsutaan joko tasokäyräksi 2-ulotteisessa avaruudessa tai vain pinnaksi kolmiulotteisessa avaruudessa. Usean ulottuvuuden avaruudessa puhutaan puolestaan hyperpinnoista. Gradientti on hyvä apuväline, kun etsitään pinnoilta ääriarvopisteitä. Tutkielmassa selviää myös mitä ovat pinnan tangentti- ja normaalivektorikentät, rajoittumat, yhtenäisyys, suunnistus ja suunnatut pinnat. Tämän työn yksi keskeisimpiä aiheita on Gaussin kuvaus. Tutkielmassa selviää kuinka Gaussin kuvaus kuvaa avaruuden n+1 pinnan surjektiivisesti yksikköpallolle. Gaussin kuvauksen kuvaa kutsutaankin suunnatun n-pinnan pallokuvaksi. Toisena keskeisenä aiheena ovat geodeesit, jotka ovat lyhimpiä reittejä avaruuden kahden eri pisteen välillä. Esimerkiksi tasossa olevat geodeesit ovat janoja ja pallon pinnalla ne ovat isoympyrän kaaria. Tutkimme myös mitä merkitsevät geodeesin nopeus ja kiihtyvyys. Lopuksi tutustumme vielä yhdensuuntaissiirtoihin. Opimme mm. mikä on kovariantti derivaatta, euklidinen yhdensuuntaisuus ja Levi-Civita-yhdensuuntaisuus. Huomaamme, miten yhdensuuntaissiirto kahden pisteen välillä riippuu käytetystä polusta.