JultikaUniversity of Oulu repository

Tässä opinnäytetyössä tutkitaan permutaatioryhmiin kuuluvia isometrisia kuvauksia, jotka ovat joukon sisäisiä bijektiivisiä kuvauksia eli permutaatioita. Isometriset kuvaukset säilyttävät kuvattavan joukon alkioiden väliset etäisyydet. Isometrisissa kuvauksissa joukon alkiot joko siirtyvät, kiertyvät pisteen ympäri, peilautuvat suoran suhteen tai kuvautuvat edellä mainittujen kuvausten yhdistelmillä saman joukon alkioiksi. Isometristen kuvausten joukko on kuvattavan joukon permutaatioryhmän aliryhmä. Työssä on tutkittu isometrisia kuvauksia niin lukusuoralla kuin Euklidisessa tasossakin. Työn tärkeimmät lauseet liittyvät erilaisiin isometristen kuvausten joukkojen muodostamiin aliryhmiin. Isometriset kuvaukset lukusuoralla kiteytyvät lauseeseen: mikäli isometrisilla kuvauksilla on sama vaikutus kahteen suoran pisteeseen, niin silloin isometriset kuvaukset ovat samat. Isometrisia kuvauksia Euklidisessa tasossa on käsitelty laajemmassa kontekstissa kuin isometrisia kuvauksia lukusuoralla. Työssä tutkitut Euklidisen tason isometriset kuvaukset ovat tason pisteiden siirto, kierto origon ympäri, peilaus koordinaattiakselin suhteen sekä niiden yhdistelmät. Työssä todistetaan, että mikäli isometrisilla kuvauksilla on sama vaikutus Euklidisen tason kolmeen pisteeseen, jotka eivät ole samalla suoralla, niin silloin isometriset kuvaukset ovat samat. Jokainen Euklidisen tason isometria on todistettavasti esitettävissä siirtona, kiertona, peilauksena tai niiden erilaisina yhdistelminä. Isometrisella siirrolla voidaan siirtää Euklidisen tason origoa eli tason koordinaattiakseleiden leikkauspistettä mielivaltaiseksi tason Euklidisen tason pisteeksi. Yhdistetyillä isometrisilla kuvauksilla on mahdollista kiertää Euklidista tasoa tason mielivaltaisen pisteen ympäri sekä peilata Euklidinen taso tason kahden mielivaltaisen pisteen kautta kulkevan suoran suhteen. Euklidisen tason osajoukon isometristen kuvausten joukko on Euklidisen tason isometristen kuvausten joukon muodostaman ryhmän aliryhmä sekä Euklidisen tason osajoukon symmetriaryhmä. Euklidisen tason osajoukko on symmetrisen muotoinen, mikäli se voidaan kuvata itselleen useammalla kuin yhdellä isometrisella kuvauksella. Vastaavasti Euklidisen tason osajoukko on epäsymmetrisen muotoinen, mikäli se voidaan kuvata itselleen vain ja ainoastaan identiteettikuvauksella. Dihedraaliset kuvaukset ovat säännöllisten monikulmioiden isometrisia kuvauksia, joissa monikulmion kärkipisteet kuvautuvat saman monikulmion kärkipisteiksi. Säännöllisen n-kulmaisen monikulmion isometristen kuvausten joukko on Dihedraaliryhmä.