JultikaUniversity of Oulu repository

Tutkielman keskeinen anti on esitellä ja todistaa käänteiskuvauslause ja implisiittikuvauslause. Näiden luontevana jatkona esitellään ja todistetaan niiden sovellus Lagrangen menetelmä, jolla puolestaan on useita sovelluskohteita muun muassa fysiikassa ja taloustieteissä. Esitietoina esitellään ympäristö, luonnollinen kanta, lineaarikuvaus, differentioituvuus, Jacobin matriisi, gradientti, C1-kuvaus, lokaali kääntyvyys ja sileä kuvaus. Lisäksi palautetaan mieleen ketjusääntö ja vektorianalyysin väliarvolause. Käänteiskuvauslauseen todistusta varten osoitetaan, että C1-kuvauksen sileydestä jossakin pisteessä seuraa sen sileys ja injektiivisyys myös tämän pisteen ympäristössä. Käänteiskuvauslauseen todistuksessa käytetään Banachin kiintopistemenetelmän kaltaista päättelyä ja todistuksen jälkeen pohditaan, miksi käänteiskuvauslauseessa pitää olla nimenomaan C1-kuvaus pelkän differentioituvan kuvauksen sijasta. Lopuksi käänteiskuvauslauseen käyttöä ja merkitystä havainnollistetaan esimerkein. Implisiittikuvauslauseeseen käsiksi pääsemistä edeltää pohdintaa siitä, mikä on implisiittisesti määritelty kuvaus. Aluksi esitellään kaksiulotteinen versio implisiittikuvauslauseesta, jonka avulla derivaatan laskemista verrataan eksplisiittiseen menettelyyn. Samalla kurkistetaan hieman analyysin varhaisiin vaiheisiin, missä Fermat ja Descartes mittelevät taitojaan tangenttien etsimisessä. Kappaleen lopuksi todistetaan eräs muoto yleisestä implisiittikuvauslauseesta ja havainnollistetaan sitä. Lagrangen menetelmän muotoilun ja todistamisen jälkeen sitä havainnollistetaan useilla optimointiesimerkeillä. Niissä etsitään pienintä ellipsoidin sisälle mahtuvaa suorakulmaista särmiötä tai paraabelin ja sen akselin mielivaltaisen pisteen välistä pienintä etäisyyttä ym. Esimerkit ovat yksinkertaista matemaattista leikittelyä, jotka havainnollistavat menetelmän käyttöä.