JultikaUniversity of Oulu repository

Pro Gradu- tutkielmani alussa (Luku 2) on esitietoja käsittelevä kappale, jossa on aivan ryhmäteorian alkeisiin kuuluvia määritelmiä, lauseita ja muutama esimerkki. Kaikkia kohtia ei ole perusteltu, ainakaan pitkän kaavan mukaan, vaan ryhmäteorian alkeet oletetaan lukijalla olevan jokseenkin hallussa. Näin siksi, että tutkielma pysyisi paremmin ytimessään eivätkä taustatiedot veisi liian suurta huomiota. Tämän kappaleen tarkoitus onkin siis lähinnä palauttaa mieleen ja selkiyttää hieman tutkielman teorian pohjalla olevia perustuloksia, joita käytetään toistuvasti. Kolmannessa luvussa puolestaan lähdetään käsittelemään tutkielman aiheen perusteita, eli määritellään mitä permutaatiot ovat ja miten ne toimivat. Luvun toisessa kappaleessa esitellään kolme erilaista tapaa merkitä permutaatioita, joista etenkin sykliesityksellä on merkitystä jatkossa. Kappaleen 3.3 pääasia on tapa, jolla permutaatiot voidaan esittää helpompien/ lyhempien permutaatioiden avulla erillisten syklien tulona. Seuraavassa kappaleessa käsitellään permutaatioiden pariteettia ja sitä miten se voidaan määrittää annetusta permutaatiosta. Lisäksi käydään läpi pariteetti laskusäännöt. Tässä luvussa on paljon esimerkkejä ja ne ovat tärkeässä roolissa. Esimerkit havainnollistavat käytännössä permutaatioiden käyttöä, sekä niillä laskemista. Neljännessä luvussa tutustutaan vähän syvemmin permutaatioihin ja miten niitä voidaan soveltaa käytäntöön. Tämän luvun pääkohtia ovat permutaatioryhmän ja sen ratojen määritteleminen jossakin joukossa. Lisäksi näille määritellään muutama ominaisuus ja lauseet, joiden avulla voidaan määrittää permutaatioryhmän ratojen lukumäärä annetussa joukossa ja annetun radan pituus (kun tiedetään yksi alkio, joka kuuluu rataan). Mukana on luonnollisesti muutama soveltava esimerkki. Teoria tässä luvussa on astetta vaikeampaa, mutta ei kuitenkaan ylitseampuvaa tai laajempaa matemaattista pohjatietoa vaativaa. Viimeisessä luvussa keskitytään tutkielman toiseen pääaiheeseen, eli alternoivaan ryhmään. Luvun ensimmäisessä kappaleessa on alternoivan ryhmän määritelmä ja mitä se tarkoittaa käytännössä. Kappaleessa 5.2 todistetaan ja käydään läpi alternoivan ryhmän ominaisuuksia. Tämän kappaleen ja oikeastaan koko tutkielman päätulos on sen viimeinen lause, jossa todistetaan alternoivan ryhmän yksinkertaisuus, kun n≥5 Ennen kuin tähän päästään kappaleessa tutkitaan myös hieman permutaatioiden konjugointia sekä symmetrisessä ryhmässä Sn, että alternoivassa ryhmässä An. Lähteenä tutkielmassa käytin I. N. Hersteinin kirjaa Abstract Algebra ja lisäksi keväällä 2011 käymäni, Markku Niemenmaan luennoiman Algebra II kurssin luentoja ja luentomuistiinpanoja, sekä luentomonistetta. Esitietoja käsittelevässä kappaleessa on käytetty lähtenä myös keväällä 2010 käymäni, Myllylän Karin luennoiman kurssin Algebra I luentoja, luentomuistiinpanoja sekä luentomonistetta. Kokonaisuudessaan tutkielma on siis melko laaja katsaus ryhmäteoriaan. Varsinkin, jos laskee mukaan sen, mikä esitietoja käsittelevässä kappaleessa on jätetty lukijalle mietittäväksi/osattavaksi. Aihe on kuitenkin mielestäni selkeä ja looginen kokonaisuus, jota ei itseasiassa ollut kovin/liian vaikea rajata.