JultikaUniversity of Oulu repository

Tutkielman tarkoituksena on esitellä ratkeavien ryhmien teoriaa sekä antaa esimerkkejä kertaluvun vaikutuksesta ryhmän ratkeavuuteen. Tutkielma lähtee liikkeelle ryhmäteorian peruskäsitteistä ja jatkaa permutaatioiden sekä tärkeiden Sylowin lauseiden kautta ratkeavien ryhmien teoriaan. Tutkielman lopussa osoitetaan ratkeaviksi kertaluvultaan 1–100 olevat ryhmät, poislukien kertaluku 60. Ensimmäinen luku tarjoaa perustyökaluja ja hyödyllisiä lauseita jatkoa ajatellen. Luvussa määritellään peruskäsitteitä, kuten aliryhmä, homomorfismi ja kompleksi. Toinen luku käsittelee permutaatioihin liittyvää teoriaa ja määrittelee tarpeellisia käsitteitä, kuten symmetrisen ryhmän ja permutaatioryhmän radat. Lisäksi todistetaan tärkeä Cayleyn lause. Kolmannessa luvussa todistetaan kolme Sylowin lausetta, jotka ovat tärkeitä ratkeaviin ryhmiin liittyvän teorian kannalta. Näistä erityisesti ensimmäistä ja kolmatta tarvitaan seuraavissa luvuissa. Neljäs luku käsittelee ratkeavien ryhmien teoriaa. Luvun alussa määritellään kommutaattori ja karakteristinen aliryhmä. Seuraavaksi esitellään ratkeavuuden määritelmä sekä käydään läpi erilaisia ratkeavuuskriteerejä. Lopussa tarkastellaan kertaluvultaan erilaisten ryhmien ratkeavuutta. Viimeinen luku käsittelee ryhmän ratkeavuutta esimerkkien muodossa. Luvussa todistetaan edellä saatuja tuloksia hyödyntäen, että kertaluvultaan korkeintaan sata oleva ryhmä on aina ratkeava, pois lukien kertaluku kuusikymmentä.