JultikaUniversity of Oulu repository

Tämä pro gradu -tutkielma käsittelee koodausteoriaan kuuluvia laajennettuja Preparata-koodeja. Koodausteoria tutkii tilannetta, jossa lähettäjä haluaa lähettää jonkin viestin vastaanottajalle. Viesti lähetetään tiedonsiirtojärjestelmän avulla, jossa viesti ensin koodataan koodisanaksi, lähetetään tiedonsiirtokanavaa pitkin vastaanottajalle ja lopuksi dekoodataan takaisin viestisanaksi. Tiedonsiirtokanava voi aiheuttaa viestiin virheitä, jolloin koodaukseen ja dekoodaukseen käytettävän koodin on hyvä olla virheitä korjaava. Koodi itsessään on matemaattisessa mielessä tiedonsiirtojärjestelmässä käytettävien koodisanojen joukko, joka muodostetaan koodin määritelmään perustuvalla tavalla. Koodisanat ovat käytännössä jonkin äärellisen kunnan vektoreita. Laajennettujen Preparata-koodien koodisanat ovat määritelmän kriteerit täyttävistä kunnan GF(2^r) osajoukoista muodostettuja binäärivektoreita. Tutkielmassa määritellään laajennetut Preparata-koodit, ja keskeisimpinä teoreettisina tuloksina osoitetaan ne etäisyysinvarianteiksi, osoitetaan koodin minimietäisyydeksi 6 sekä osoitetaan koodit epälineaarisiksi. Laajennetut Preparata-koodit korjaavat kaksi virhettä riippumatta koodissa käytettävästä kunnasta GF(2^r). Näiden lisäksi tutkielmassa esitetään koodaus- ja dekoodausalgoritmit kyseisille koodeille huomioiden erilaiset tiedonsiirtokanavassa aiheutuneet virheet sekä niihin liittyviä esimerkkejä. Koodausalgoritmin yhteydessä osoitetaan myös tulos, joka kertoo laajennettujen Preparata-koodien koodisanojen lukumäärän.