JultikaUniversity of Oulu repository

Pro gradu -tutkielman aiheena on polynomien suurin yhteinen tekijä ja polynomien kongruenssi. Tutkielman aihetta lähestytään renkaiden perusmääritelmistä ja -lauseista. Rakenteellisesti tutkielma on jaettu lukuihin, joissa määritelmät ja lauseet vaikeutuvat loppua kohden. Luvuissa 1–3 käydään läpi niitä asioita, joita tarvitaan tutkielman varsinaisen aiheen ymmärtämisessä luvuissa 4ja 5. Luvussa 1 käsitellään renkaan, alirenkaan ja ideaalin määritelmiä ja tärkeimpiä lauseita. Renkaalle määritellään sen ideaalin suhteen tekijärengas, jolle määritellään kaksi laskutoimitusta, yhteen- ja kertolasku. Kuntalaajennus esitetään luvussa 2, jota lähestytään määrittelemällä ensin kunta. Kunta muodostuu, kun kommutatiivinen rengas sisältää jokaisen nolla-alkiosta eroavan alkionsa käänteisalkiot. Kuntalaajennus saadaan, kun muodostetaan renkaan ja sen maksimaalisen ideaalin avulla tekijärengas. Tämä tekijärengas on rakenteeltaan kunta. Luvussa 3 määritetään polynomirengas ja sille lauseita, joita tarvitaan myöhemmin tutkielmassa. Polynomeille määritellään jakoalgoritmi, jolla saadaan polynomi esitettyä muiden polynomien avulla. Polynomien suurin yhteinen tekijä ja polynomien kongruenssi on esitetty omissa luvuissaan. Luvussa 4 määritellään polynomien suurin yhteinen tekijä ja erilaisia ominaisuuksia. Samassa luvussa esitetään Eukleideen algoritmi, jolla voi määrittää kahdelle polynomille suurimman yhteisen tekijän. Luvussa 5 käydään läpi polynomien kongruenssia ensin määritellen ja sen jälkeen esittäen uusia ominaisuuksia. Polynomien kongruenssin avulla saadaan määriteltyä uusi rengas, jäännösluokkarengas. Jäännösluokkarengas muodostetaan polynomirenkaan ja sen jonkin polynomin avulla. Kun tämä polynomi on jaoton polynomirenkaassa, niin jäännösluokkarengas on rakenteeltaan kunta.