JultikaUniversity of Oulu repository

Tiivistelmä

Pro gradu -tutkielman aiheena on kuntien konstruoiminen renkaiden avulla ja aihetta pohjustetaan ryhmäteorian historian kautta. Tarkoituksena on herättää lukijan mielenkiinto aihepiiriä kohtaan ja ymmärtää kuinka tässäkin tutkielmassa käsiteltyyn teoriaan on päästy.

Ensimmäisessä luvussa käsitellään ryhmäteorian historiaa aina 1700-luvulta 1900-luvulle asti. Ensimmäinen luku pyrkii avaamaan sitä, kuinka paljon työtä ja eri matemaatikoiden panosta kokonaan uuden matematiikan osa-alueen syntyminen on todellisuudessa vaatinut. Ryhmäteorian perustan luoneelle Evariste Galois’lle annetaan tutkielmassa oma erityishuomio.

Luvussa 7 käsitellään kuntalaajennusta. Se antaa meille mahdollisuuden konstruoida kommutatiivisesta renkaasta kunta sen maksimaalisen ideaalin avulla. Luvuissa 2–6 käsitellään tarvittavia määritelmiä ja tuloksia ekvivalenssirelaation, ryhmien, renkaiden ja kuntien teoriasta. Kuntalaajennusta ja sen taustateoriaa avataan esimerkein, jotta sen käyttömahdollisuudet selkeytyisivät paremmin. Esimerkeissä käytetään pitkälti jäännösluokkia, mutta kuntalaajennuksen yhteydessä esitellään yksi esimerkki myös Gaussin kokonaislukujen avulla.

Luvussa 8 käsitellään eräs toisenlainen konstruointi osamääräkunnan muodossa. Tarkoituksena on osoittaa kuinka kokonaisalueen avulla voidaan konstruoida uusi kuntarakenne. Tämä tapahtuu määrittelemällä uusi relaatio kokonaisalueessa ja siihen liittyvät ekvivalenssiluokat laskutoimituksineen. Lisäksi esitellään osamääräkuntaan liittyviä tuloksia, kuten rationaalilukujen joukon muodostaminen kokonaislukujoukon osamääräkuntana.