University of Oulu

Perkolaatio puissa

Saved in:
Author: Savolainen, Miika1
Organizations: 1University of Oulu, Faculty of Science, Mathematics
Format: ebook
Version: published version
Access: open
Online Access: PDF Full Text (PDF, )
Persistent link: http://urn.fi/URN:NBN:fi:oulu-201804241517
Language: Finnish
Published: Oulu : M. Savolainen, 2018
Publish Date: 2018-04-25
Thesis type: Master's thesis
Tutor: Suomala, Ville
Reviewer: Järvenpää, Esa
Suomala, Ville
Description:
Tutkielman ensimmäisessä luvussa kerrataan todennäköisyyslaskennan perusasioita, jotka lukijan oletetaan tuntevan. Toisessa luvussa määritellään, mikä on puu ja tutustutaan puihin liittyviin käsitteisiin. Erityisen tärkeä puihin liittyvä käsite on haarautumisluku, joka kuvaa sitä kuinka suuri puu on. Haarautumisluku on eräänlainen keskiarvo puun solmujen seuraajien lukumäärälle. Luvun loppupuolella tarkastellaan muutamia tilanteita, joissa haarautumisluvun laskeminen on helppoa. Kolmas luku käsittelee painotettuja satunnaiskävelyjä puissa. Luvun tärkein kysymys koskee satunnaiskävelyä, joka on painotettu puun juurta kohti jollakin vakiolla C. Millaisissa puissa satunnaiskävely palaa juureen äärettömän monta kertaa melkein varmasti? Osoittautuu, että näin tapahtuu sellaisissa puissa, joiden haarautumisluku on pienempi kuin vakio C. Puissa, joiden haarautumisluku on tätä vakiota suurempi, satunnaiskävely palaa juureen melkein varmasti vain äärellisen monta kertaa. Neljännessä luvussa perehdytään perkolaatioon. Perkolaatiossa poistetaan osa puun kaarista. Jokaista kaarta tarkastellaan muista riippumattomasti ja se säilytetään puussa jollakin kiinnitetyllä todennäköisyydellä p. Nyt voidaan kysyä, millaisissa puissa on positiivinen todennäköisyys sille, että perkolaation jälkeen puun juureen jää kiinni ääretön alipuu. Haarautumisluku on tärkeä käsite tässäkin tapauksessa. Jos puun haarautumisluku on pienempi kuin 1/p, niin todennäköisyys sille, että alipuu olisi ääretön, on nolla. Jos taas haarautumisluku on suurempi kuin 1/p, niin todennäköisyys on positiivinen. Luvun 5 aihe on Hausdorffin ulottuvuus. Luvun alussa tarkastellaan puun reunaa, jonka Hausdorffin ulottuvuus osoittautuu puun haarautumisluvun logaritmiksi. Luvun loppupuolella tutustutaan perkolaatioon yksikkökuution [0,1]^n tapauksessa. Puussa ja yksikkökuutiossa tapahtuvilla perkolaatioilla on yhteys. Jokaista yksikkökuutioon perkolaatiossa jäävää joukkoa A vastaa jokin puu. Tämän puun reunan Hausdorffin ulottuvuus on yhtä suuri kuin joukon A ulottuvuus. Kuudennessa luvussa tutustutaan kapasiteettiin. Sen avulla voidaan ratkaista kysymys, mitä tapahtuu satunnaiskävelylle, jos haarautumisluku ja vakio C ovat yhtä suuret. Vastaus on, että satunnaiskävely palaa juureen vain äärellisen monta kertaa, jos ja vain jos puun reunan kapasiteetti on positiivinen. Tämä on myös yhtäpitävää sen kanssa, että perkolaatiossa on positiivinen todennäköisyys sille, että juureen jää kiinni ääretön alipuu. Luvun loppuosassa todistetaan vielä kapasiteetin avulla muutama tulos liittyen perkolaatioon yksikkökuutiossa.
see all

Subjects:
Copyright information: © Miika Savolainen, 2018. This publication is copyrighted. You may download, display and print it for your own personal use. Commercial use is prohibited.