JultikaUniversity of Oulu repository

Tiivistelmä

Kuvitellaan, että kuutio halutaan päällystää kullalla siten, että kultaa on joka kohdassa yhtä paksusti. Mikä on kuution pintaan tulevan kullan tilavuus? Mikä on päällystetyn kuution kokonaistilavuus?

Jos tiedetään kuution särmän pituus ja kultapinnoitteen paksuus, saadaan kullan ja koko systeemin tilavuudet laskettua helposti. Kolmiulotteinen avaruus on vielä helppo hahmottaa, mutta kun siirrytään korkeampiin ulottuvuuksiin, eivät lausekkeet enää olekaan niin intuitiivisia. On kuitenkin tiettyjä ominaisuuksia, jotka ovat yhteisiä kaikille epätyhjille monitahokkaille eli polytoopeille yllä kuvatun kaltaisessa tilanteessa myös n-ulotteisessa euklidisessa avaruudessa.

Tämän tutkielman luvussa 1 esitellään erilaisia joukkoja ja niiden ominaisuuksia euklidisessa avaruudessa. Joukot, joita tutkielmassa käsitellään, ovat pääosin konvekseja eli kuperia joukkoja. Konveksin joukon mitkä tahansa kaksi pistettä voidaan yhdistää janalla toisiinsa siten, että janan kaikki pisteet kuuluvat myös kyseiseen joukkoon. Myös joukon ympäristön käsite on merkittävä tutkielman kannalta. Joukon r-ympäristöön kuuluvat kaikki pisteet, jotka ovat enintään pituuden r etäisyydellä joukosta. Alun esimerkissä kuutio ja kulta muodostavat yhdessä kuution ympäristön.

Luvussa 2 syvennytään tutkimaan polytooppeja ja konvekseja joukkoja. Joukoille määritellään mitta, jolla niiden tilavuuksia pystytään laskemaan ja todistetaan, että tilavuusfunktio on jatkuva. Lopuksi esitellään pinta-alan käsite n-ulotteisessa euklidisessa avaruudessa.

Viimeisessä luvussa mennään viimein itse aiheeseen. Lauseessa 3.9 osoitetaan, että on olemassa tiettyjä ominaisuuksia, jotka pätevät kaikkien polytooppien ympäristöille riippumatta ympäröivän euklidisen avaruuden ulottuvuudesta. Itse Steiner-Minkowskin kaava (lause 3.11) onkin yksinkertaisuudessaan lauseen 3.9 yleistys kaikille konvekseille joukoille.

Joitakin määritelmiä ja todistuksia havainnoimaan on lisätty kuvia. Vaikka piirrokset kuvaavat vain yksittäistapauksia kaksiulotteisessa euklidisessa avaruudessa, auttavat ne ymmärtämään todistuksia.

Tutkielmassa on käytetty lähteenä pääasiassa Marcel Bergerin kaksiosaista teosta Geometry I-II. Muita lähteitä, kuten Jyväskylän yliopiston luentomateriaaleja, on käytetty pääasiassa yksittäisten todistusten ja määritelmien kirjoittamisen apuna.