JultikaUniversity of Oulu repository

Tiivistelmä

Tutkielmassa Eräiden \(p\)-adisten \(L\)-arvojen irrationaalisuudesta todistamme \(p\)-adisen zeta-funktion arvon \(\zeta_p(k)\) irrationaalisuuden, kun \(p = 2, 3\) ja \(k = 2, 3\). Lisäksi, osoitamme erään \(p\)-adisen \(L\)-arvon irrationaalisuuden.

Tutkielma perustuu Frits Beukersin työhön Irrationality of some \(p\)-adic \(L\)-values. Suurin osa todistuksista löytyy Beukersin työhön perustuvasta Vandita Patelin tutkielmasta irrationality of some \(p\)-adic integers.

Aluksi tarkastelemme ehtoa, milloin \(p\)-adinen luku \(\alpha\) on irrationaalinen. Kyseistä lemmaa käytetään lopuksi osoittamaan tutkielman päätulokset. Tutkimme myös, millaisen luvun rationaaliluvun \((\beta)_n/n!\) nimittäjä jakaa.

Seuraavaksi keskitymme tarkastelemaan differentiaaliyhtälöitä. Erityisesti, tutkimme tietyn ehdon täyttävää differentiaaliyhtälöä, jonka ratkaisuna on haluttu generoiva sarja. Kappaleen tärkeimmät tulokset liittyvät differentiaaliyhtälöiden ratkaisujen kertoimien nimittäjien jaollisuuteen.

Tutkielman keskeisessä osassa ovat Laurentin sarjat \(Θ(x)\), \(R(x)\) ja \(T(x)\). Todistamme näiden sarjojen välisiä identiteettejä. Erityisen tärkeäksi osoittautuvat myös näiden sarjojen tietyn tyyppiset sarjakehitelmät.

Määrittelemme \(p\)-adisen Hurwitz’n zeta-funktion \(H_p(s,a,F)\). Tämän avulla määrittelemme \(p\)-adisen Kubota-Leopoldt \(L\)-sarjan \(L_p(s,φ)\), jonka avulla esittelemme lopulta \(p\)-adisen zeta-funktion \(\zeta_p(s)\). Tutkimme edellä mainittujen funktioiden ja Laurentin sarjojen \(Θ(x)\), \(R(x)\) ja \(T(x)\) välisiä yhteyksiä. Näiden sarjojen väliset identiteetit ovat ratkaisevassa asemassa todistaessamme \(p\)-adisen zeta-funktion arvon \(\zeta_p(k)\) irrationaalisuutta.

Ketjumurtoluvut osoittautuvat tutkielman kannalta tärkeäksi välineeksi, ja tarkastelemmekin niitä seuraavaksi. Erityisesti konvergenttien avulla saadaan kaksi rationaalifunktioiden jonoa \(p_n(x)\) ja \(q_n(x)\) — koskien Laurentin sarjoja \(Θ(x)\), \(R(x)\) ja \(T(x)\). Tämän jälkeen tutkimme näiden ratkaisujen generoivia sarjoja. Osoitamme, että ne totettuttavat tietyt aiemmin tarkasteltujen differentiaaliyhtälöiden mukaiset ehdot.

Lopulta laitamme aiemmat tulokset yhteen ja muodostamme ehdot, milloin \(p\)-adiset luvut \(Θ_p(x)\), \(R_p(x)\) ja \(T_p(x)\) ovat irrationaalisia. Tämän jälkeen osoitamme tutkielman päätulokset. Käyttämällä hyväksi saatuja irrationaalisuuskriteerejä sekä \(p\)-adisen zeta-funktion \(\zeta_p(s)\) ja \(p\)-adisten sarjojen \(Θ_p(x)\), \(R_p(x)\) ja \(T_p(x)\) välisiä yhteyksiä todistamme, että \(\zeta_p(k)\) on irrationaalinen, kun \(p = 2, 3\) ja \(k = 2, 3\).