JultikaUniversity of Oulu repository

Tiivistelmä

Joukko G varustettuna alkioiden välisellä operaatiolla (∗), eli (G,∗) on ryhmä, jos se täyttää asetetut ehdot. Esimerkiksi kokonaislukujen joukko Z on ryhmä yhteenlaskun suhteen, mutta ei kertolaskun suhteen. Jos ryhmä on Abelin ryhmä, niin sen aliryhmä on normaali aliryhmä. Ryhmällä (Z,+) on normaali aliryhmä (3Z,+), jolla on kolme vasenta sivuluokkaa. Määritellään sivuluokkien joukossa additiivinen operaatio. Sivuluokkien välisen operaation avulla muodostetaan tekijäryhmä, jonka alkioita ovat sen aliryhmän, jonka suhteen tekijäryhmä on muodostettu, vasemmat sivuluokat. Tekijäryhmä on ryhmärakenne. Esimerkiksi ryhmän (Z,+) normaalin aliryhmän (3Z,+) suhteen muodostettu tekijäryhmä (Z/3Z,+) on ryhmä. Ryhmän ominaisuudet periytyvät tekijäryhmälle.

Kolmikko (R,+,·) on rengas, mikäli pari (R,+) on Abelin ryhmä, pari (R,·) on monoidi ja osittelulait ovat voimassa joukossa R. Esimerkiksi (Z,+,·) on rengas. Renkaan epätyhjää osajoukkoa kutsutaan ideaaliksi, mikäli se täyttää ideaalin määritelmän. Esimerkiksi joukon Z osajoukko 3Z on renkaan Z ideaali. Itseasiassa ideaali 3Z on myös renkaan Z pääideaali ja maksimaalinen ideaali. Määritellään sivuluokkien joukossa additiivinen ja multiplikatiivinen operaatio sekä todistetaan nämä hyvin määritellyiksi. Tällöin renkaan R ideaalin I suhteen muodostettu sivuluokkien joukko varustettuna sivuluokkien additiivisella ja multiplikatiivisella operaatiolla on rengasrakenne. Edellä määriteltyä rengasrakennetta kutsutaan tekijärenkaaksi. Esimerkiksi kolmikko (Z/3Z,+,·) on tekijärengas. Renkaan ominaisuudet periytyvät tekijärenkaalle.

Jos kommutatiivisen renkaan jokaiselle nolla-alkiosta eroavalle alkiolle löytyy käänteisalkio renkaan alkioiden joukosta, niin rengasta kutsutaan kunnaksi. Esimerkiksi kokonaisluvuista muodostettu rengas (Z,+,·) ei ole kunta. Jos kommutatiivisella renkaalla ei ole muita ideaaleja kuin renkaan nollaalkion muodostama joukko ja rengas itse, niin rengas on kunta. Jos tekijärengas muodostetaan maksimaalisen ideaalin suhteen, niin tekijärengas on kunta. Edellä mainittu tulos voidaan todistaa kahta eri reittiä pitkin. Ensimmäisessä vaihtoehdossa käytetään tietoa, että kun tekijärenkaan ainoat ideaalit ovat tekijärengas itse ja sen nolla-alkion muodostama joukko, niin tällöin tekijärengas on kunta. Toinen tapa on hyödyntää kunnan määritelmän kanssa pääideaalin määritelmää ja tietoa, että renkaan ideaalien summa on ideaali. Näistä esimerkkinä tekijärengas (Z/3Z,+,·) on kunta.