JultikaUniversity of Oulu repository

Tiivistelmä

Tämä pro gradu -tutkielma on osa Oulun yliopiston Avoin oppikirja -projektia, jossa tuotetaan oppimateriaalia lukion pitkän matematiikan kurssille MAA11: Lukuteoria ja todistaminen. Kurssin sisällöt perustuvat vuoden 2015 lukion opetussuunnitelman perusteisiin. Tämä tutkielma jatkaa kurssin todistamisen kokonaisuutta aihealueilla käänteinen todistus, ristiriitatodistus ja induktiotodistus. Tutkielma koostuu perusteluosasta, varsinaisesta oppimateriaalista, opettajan oppaasta ja harjoitustehtävien vastauksista. Perusteluosassa esitetään oppimateriaalin tavoitteet ja tehtävätyypit sekä oppimateriaalin perustelut. Perusteluosa pohjautuu lukion opetussuunnitelmaan ja tieteellisiin artikkeleihin. Erityisesti tieteellisten artikkelien esille tuomia oppimisen ongelmakohtia ja toimintatapoja on hyödynnetty oppimateriaalin pohdintatehtävien rakentamiseen.

Varsinainen oppimateriaali pohjautuu teorian ja harjoitustehtävien lisäksi pohdintatehtäville, joiden avulla opiskelija johdatellaan opiskeltaviin aiheisiin. Pohdintatehtävien avulla rikotaan perinteisen matematiikan opetuksen rakennetta, minkä avulla korostetaan opiskelijan aktiivista ja monimuotoista oppimista. Oppitunnin keskiössä olevien pohdintatehtävien keskeinen tarkoitus on viedä teoriaa eteenpäin opiskelijan oman ymmärryksen kautta. Oppitunnit rakentuvat pääsääntöisesti pohdintatehtävien ympärille, joten kappaleiden lopussa olevat harjoitustehtävät on tarkoitettu lähinnä kotitehtäviksi. Harjoitustehtävien vastaukset löytyvät oppimateriaalin lopusta. Lisäksi oppimateriaalin mukaan kuuluu opettajan opas, joka sisältää ajankäyttösuunnitelman, aiheiden oppimistavoitteet sekä pohdintatehtävien ratkaisut ja vinkit. Opettajan oppaan avulla tarjotaan tiivis tietopaketti oppimateriaalista, missä ratkaisujen ja vinkkien avulla opettaja tietää miten pohdintatehtävien haasteita voi lähestyä ja mitä asioita tulee painottaa.

Oppimateriaali rakentuu ongelmanratkaisun sekä erilaisten todistamisen käsitteiden ja logiikan perusteiden ymmärtämisen ympärille. Pohdintatehtävät sisältävät matemaattisten todistuksien avustettua tuottamista, tutkimista ja muokkaamista, joiden avulla opiskelija huomaa erilaisten todistusmenetelmien ominaisuuksia. Tällaisilla tehtävillä edistetään opiskelijan taitoa perustella todistusten loogisuutta ja matemaattisia ominaisuuksia sekä huomaamaan tarve uusille todistusmenetelmille. Uusien todistusmenetelmien oppimisessa on tärkeää, että opiskelija ymmärtää, että ei ole olemassa yhtä oikeaa tapaa todistaa. Pohdintatehtävissä hyödynnetään myös erilaisia käytännön pelejä, havainnollistuksia ja sovelluksia todistusmenetelmien hahmottamiseen. Lisäksi todistusten analysoinnissa ja tuottamisessa hyödynnetään paljon aiemmin opittua tietoa, jonka avulla opiskelija pystyy luomaan uusia merkityksellisiä päättelyitä.