JultikaUniversity of Oulu repository

Tiivistelmä

Fotoionisaatiossa atomeista tai molekyyleistä voi irrota elektroneja, kun niihin osuu fotoni, jolla on riittävän suuri energia. Irronneet elektronit voidaan havaita detektorilla, jonka sisätuloaukon koko on äärellinen. Kun atomeja ja molekyyleja ionisoidaan täydellisesti lineaarisesti polarisoidulla sähkömagneettisella säteilyllä, jonka aallonpituus on paljon suurempi kuin ionisoitavat atomin koko, irronneiden elektronien kulmajakaumat voidaan ilmasta erään differentiaaliyhtälön avulla. Tässä differentiaaliyhtälössä esiintyvä kulmajakaumaparametri (eli anisotropiaparametri) on tämän pro gradu -tutkielman tarkastelun kohteena. Tutkielman tarkoitus on selvittää, millainen virhe kulmajakaumaparametrille aiheutuu, kun detektorin oletetaan havaitsevan elektroneja vain tietyllä kulman arvolla, vaikka todellisuudessa detektori havaitsee elektroneja tietyllä kulma-aukeamalla.

Tutkielmassa perehdytään Legendren polynomeihin ja kvanttimekaniikkaan, sillä halutaan luoda yhteys Legendren polynomien ja fysiikan välille. Legendren differentiaaliyhtälöä tarvitaan, kun halutaan ratkaista Laplacen operaattori pallokoordinaatistossa. Kvanttimekaniikassa tätä pallokoordinaatistoa tarvitaan, kun tarkastellaan kolmiulotteista kvanttimekaniikkaa, kuten vetyatomin Schrödingerin yhtälöä. Tämän katsauksen avulla saadaan havainnollistettua, mistä Legendren polynomit tulevat tutkittavana olevaan fotoionispektroskopian ongelmaan.

Legendren polynomien muodostaman ortogonaalisen järjestelmän avulla on ensin määriteltävä assosioidut Legendren polynomit, jotka tunnetaan myös nimillä Legendren liittofunktiot ja Legendren liittopolynomit. Kun tiedetään, mitä assosioidut Legendren polynomit ovat, voidaan määritellä Schmidtin assosioidut Legendren polynomit, joista voi olla apua ratkaistaessa tarkasteltavana olevaa ongelmaa.

Tarkasteltavalle ongelmalle tullaan esittämään kaksi erilaista ratkaisuvaihtoehtoa, joista toisessa tarvitaan Schmidtin ortogonaalisten Legendren polynomien ominaisuuksia, mutta toisessa ratkaisussa tältä vältytään neliöön korotuksen ansiosta. Vaikka eri ratkaisutavoilla saadut kulmajakaumaparametrin lausekkeet ovat erinäköiset, niin niiden antavat tulokset ovat ekvivalentit keskenään, mikä tullaan osoittamaan luvussa 6.

Luvussa 6 esitetään lyhyesti myös tämä fotoionispektroskopiassa ilmenevän ongelman teoria ja havainnollistetaan kuvien avulla, miten tuntematon kulma voidaan ilmoittaa tunnettujen kulmien avulla pallokoordinaatistossa. Tämä vaatii pallotrigonometrian kosinilauseen ymmärtämisen, joten tutkielman alussa esitetään lyhyt teoria pallotrigonometriasta.

Detektoreja suunnitellaan nykyään siten, että ne havaitsevat elektroneja mahdollisimman laajalla kulma-aukeamalla. Koska detektorin kulma-aukeama voi olla hyvinkin suuri, niin on hyvä tietää, millainen virhe kulmajakaumaparametrille voi aiheutua, jos detektorin oletetaan olevan pistemäinen. Tehtäessä tämä yksinkertaistus detektorille, joka havaitsee elektroneja tietyllä kulma-aukeamalla, tullaan huomaamaan, että kulmajakaumaparametrin arvolle voi aiheutua useammankin prosentin virhe.