JultikaUniversity of Oulu repository

Tiivistelmä

Tutkielmassa osoitetaan ehtokokoelma Hausdorffin ja affiinin ulottuvuuden yhtäsuuruudelle tasossa. Yleisesti iteroitujen funktiosysteemien eri fraktaaliulottuvuuksien yhtäsuuruutta on tutkittu jo suhteellisen kauan. Jos systeemi koostuu affiineista kuvauksista, eri ulottuvuuksien keskinäinen käyttäytyminen on suhteellisen huonosti tunnettu jopa tasossa. Tähän tutkielmassa hyödynnetään itseaffiinien ja Bernoullin mittojen Lyapunovin ulottuvuutta. Lyapunovin ulottuvuuden avulla johdetaan tuloksia joukoille. Toisin sanoen osoitetaan, että affiinia ulottuvuutta voidaan aina arvioida Bernoullin mittojen Lyapunovin ulottuvuudella, kun siirrytään alisysteemeihin. Lisäksi näytetään, että alisysteemeille voidaan taata säännöllinen käyttäytyminen tietyissä rajoissa. Alisysteemit esimerkiksi säilyttävät kartion aidosti ja vahva jaottomuus säilyy niihin siirryttäessä. Myös muiden erotteluehtojen säilymistä alisysteemeihin siirryttäessä tarkastellaan. Alisysteemien Lyapunovin eksponenttien ja entropian osoitetaan olevan lähellä Käenmäen mitan vastaavia suureita. Tutkielmassa esitellään lisäksi muista lähteistä muutamia eri ulottuvuuksiin ja niiden yhtäsuuruuksiin liittyviä tuloksia, joita käytetään riittävän ehtokokoelman todistamiseen.