JultikaUniversity of Oulu repository

Tiivistelmä

Pro gradu -tutkielman aiheina ovat toisen, kolmannen ja neljännen asteen polynomiyhtälöiden yleiset ratkaisut sekä algebran peruslause. Tutkielma aloitetaan johtamalla ratkaisut erityyppisille vaillinaisille toisen asteen yhtälöille sekä täydelliselle toisen asteen yhtälölle. Samalla tutustutaan toisen asteen polynomin tekijöihinjakoon sen nollakohtien avulla ja tarkastellaan toisen asteen yhtälön ratkaisujen lukumäärää ja sen päättelemistä yhtälön kertoimista muodostettavan diskriminantin lausekkeen avulla.

Tämän jälkeen käsitellään kompleksilukuja ja niillä laskemista. Kompleksilukujen laskutoimituksien tarkastelussa tavoitteena on erityisesti johtaa kompleksilukujen z ja w moduleille kolmioepäyhtälö |z|-|w|≤|z+w|≤|z|+|w| sekä määrittää yleinen juuri kompleksiluvulle z=a+bi sen napakoordinaattiesityksestä. Kompleksiluvun z yleisiä juuria hyödynnetään myöhemmin kolmannen ja neljännen asteen polynomiyhtälöitä ratkaistaessa, erityisesti kolmannen asteen yhtälöiden yhteydessä. Kolmioepäyhtälöitä taas käytetään algebran peruslausetta ja sen aputuloksia todistettaessa.

Kolmannen ja neljännen asteen polynomiyhtälöiden yleisten ratkaisujen johdot ovat jokseenkin samankaltaisia. Molemmat aloitetaan poistamalla polynomien lausekkeista toiseksi korkeimman, eli toisen tai kolmannen asteen termi sopivalla sijoituksella. Tämän jälkeen sekä kolmannen että neljännen asteen yhtälöt saatetaan muotoihin, jotka voidaan ratkaista toisen asteen yhtälöille aiemmin johdettua ratkaisukaavaa käyttäen. Samalla esitetään säännöt, joiden perusteella voidaan valita toisen asteen yhtälöiden ratkaisukaavasta saataviin lausekkeisiin tehdyistä sijoituksista sopivat parit, joista ratkaistavan kolmannen tai neljännen asteen yhtälön lopulliset ratkaisut muodostuvat.

Tutkielman lopussa perehdytään algebran peruslauseeseen ja siis osoitetaan, että kaikilla ensimmäisen ja sitä korkeampaa astetta olevilla polynomifunktioilla on ainakin yksi nollakohta kompleksilukujen joukossa. Tätä ennen esitetään kuitenkin joitain aputuloksia, joiden pohjalta algebran peruslauseen todistusta lähdetään rakentamaan. Näissä aputuloksissa todetaan, että polynomeilla p(z) ja p(z)/a, missä a on polynomin p(z) korkeimman asteen termin kerroin, on sama nollakohta, sekä tutkitaan yleisen polynomin p(z) modulin arvon käyttäytymistä kompleksilukuarvoisen muuttujan z modulin |z| arvon kasvaessa rajatta. Lisäksi esitetään Newtonin binomikaava sekä lause, jonka perusteella jatkuva funktio saa suurimman ja pienimmän arvonsa suljetussa kiekossa, joka on kaksiulotteisen reaalilukujoukon osajoukko. Näitä ei kuitenkaan osoiteta, vaan niihin voi perehtyä tarkemmin lähdemateriaaleista. Itse algebran peruslause todistetaan etsimällä ensin kompleksitasosta alue, jossa polynomin p(z) moduli saavuttaa varmasti miniminsä. Tämän jälkeen polynomista p(z) muodostetaan sopivaa sijoitusta käyttäen uusi polynomi f(z), jonka moduli |f(z)| saa miniminsä varmasti muuttujan z arvolla 0. Tällöin tämä minimi on varmasti joko 0 tai polynomin f(z) vakiotermin moduli. Kun oletetaan, että muuttujan z arvolla 0 polynomifunktion f(z) arvo on nollasta eroava, voidaan todeta polynomin f(z) modulin |f(z)| minimin olevan tällöin polynomin f(z) vakiotermin moduli. Tarkasteltaessa tämän oletuksen seurauksia, huomataan, että polynomifunktio f(z) voidaan sopivilla sijoituksilla muokata muotoon, jossa sen modulin minimin pitäisi olla 1. Tällöin kuitenkin havaitaan, että muodostetun polynomin moduli saa tätä pienempiä arvoja. Näin ollen voidaan todeta, että muodostettu oletus on väärä ja polynomifunktion f(z) modulin |f(z)| minimin on oltava 0, mistä saadaan edelleen alkuperäisen polynomin p(z) modulin |p(z)| minimiksi 0. Tämän perusteella voidaan todeta, että polynomilla p(z) on nollakohta ja algebran peruslause pitää siis paikkansa ja kaikilla ensimmäistä ja sitä korkeampaa astetta olevilla polynomifunktioilla on ainakin yksi nollakohta kompleksitasossa.