University of Oulu

Tensorit

Saved in:
Author: Horneman, Markus1
Organizations: 1University of Oulu, Faculty of Science, Mathematics
Format: ebook
Version: published version
Access: open
Online Access: PDF Full Text (PDF, 0.2 MB)
Pages: 46
Persistent link: http://urn.fi/URN:NBN:fi:oulu-202012233495
Language: Finnish
Published: Oulu : M. Horneman, 2020
Publish Date: 2021-01-07
Thesis type: Master's thesis
Tutor: Järvenpää, Esa
Reviewer: Järvenpää, Esa
Salmi, Pekka
Description:

Tiivistelmä

Lineaarialgebran rakenteet ja lineaarialgebran ominaisuudet ovat tekniikan sovellusten ja luonnontieteiden ilmiöiden matemaattisen käsittelyn pohjalla. Yleisimmin esiintyviä lineaarialgebran käsitteitä ja rakenteita ovat vektoriavaruus, lineaarinen kuvaus ja matriisit. Tietenkin on myös paljon muita lineaarisia rakenteita, mutta nämä kolme käsitettä ovat sellaisia, joihin jokainen on törmännyt perehtyessään tekniikan ja luonnontieteiden ilmiöiden matemaattiseen käsittelyyn.

Lineaarialgebra on intuitiivista ja sen avulla pystytään perustelemaan monia tekniikan ja luonnontieteiden sovellukset ja löytämään ratkaisuja moniin ongelmiin. Kun ymmärrys maailmasta on kasvanut ja ongelmat ovat monimutkaistuneet, eivät nämä perinteiset lineaariset rakenteet enää riitä mallintamaan ja perustelemaan kaikkia moderneja sovelluksia ja löydettyjä luonnontieteen ilmiöitä. Näin ollen täytyy lineaarialgebran teoriaa laajentaa multilineaarialgebraan. Sovelletuissa tieteissä multilineaarialgebran rakenteista todennäköisesti yleisimpänä esiintyvät tensorit. Varsinkin modernissa fysiikassa tensorit ilmenevät monissa matemaattisissa teorioissa, ja näistä yhtenä tunnetuimpana teoriana on yleinen suhteellisuusteoria. Näiden teorioiden ymmärtämisen ja matemaattisen käsittelyn vaatimuksena on, että ymmärtää tensorin käsitteen ja osaa käsitellä tensoreita fysiikan yhtälöiden alkioina.

Tässä tutkielmassa lähdetään liikkeelle multilineaarisen algebran perusrakenteesta, multilineaarisesta kuvauksesta, jonka pohjalta päädytään määrittelemään rakenne nimeltä tensoritulo. Suurin osa tutkielmasta keskittyy tensoritulon tarkasteluun ja tensoritulon ominaisuuksien tutkimiseen. Lopulta tensoritulon pohjalta määritellään tensorit ja selviää, että tensorit ovat vain tensoritulon erityistapauksen, tensoripotenssin, alkioita. Näin ollen tensoritulon ominaisuuksien määrittely ei ole ollut turhaa tensorien näkökulmasta, sillä määritellyt ominaisuudet pätevät myös tensoreilla. Tensoreilla on myös oma laaja matemaattinen teoria, jota on kehitetty vielä eteenpäin, mutta siihen lukijan täytyy perehtyä muista teoksista.

Tämä tutkielma määrittelee multilineaarisen kuvauksen, tensoritulon ja tensorit multilineaarisen algebran näkökulmasta ja antaa lukijalle valmiudet tensoreiden abstraktiin ymmärtämiseen ja tensorialgebran opiskeluun. Tutkielman ymmärtämisen vaatimuksena on, että lukijalla on hyvät pohjatiedot lineaarialgebrasta, sillä multilineaarialgebra on suoraan "jatkoa" lineaarialgebralle ja lineaarialgebran käsitteet ja teoriat esiintyvät kaikissa lauseissa, määritelmissä ja todistuksissa. Tutkielman lähteinä on käytetty Werner Greubin lineaarialgebran ja multilineaarialgebran teoksia.

see all

Subjects:
Copyright information: © Markus Horneman, 2020. This publication is copyrighted. You may download, display and print it for your own personal use. Commercial use is prohibited.