Euklidiset renkaat
Lehtonen, Eetu (2021-06-11)
Lehtonen, Eetu
E. Lehtonen
11.06.2021
© 2021 Eetu Lehtonen. Tämä Kohde on tekijänoikeuden ja/tai lähioikeuksien suojaama. Voit käyttää Kohdetta käyttöösi sovellettavan tekijänoikeutta ja lähioikeuksia koskevan lainsäädännön sallimilla tavoilla. Muunlaista käyttöä varten tarvitset oikeudenhaltijoiden luvan.
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/URN:NBN:fi:oulu-202106178555
https://urn.fi/URN:NBN:fi:oulu-202106178555
Tiivistelmä
Tutkielmaa varten lukijalla on hyvä olla peruskäsitys kongruenssista ja algebrallisista ryhmärakenteista sekä niiden operaatioista. Alussa käsitelään renkaiden ja niiden ideaalien määritelmiä ja ominaisuuksia ja laajennetaan siitä kokonaisalueen määritelmään, jossa kahden renkaan nolla-alkiosta eroavien alkioiden kertolaskuoperaation tulos ei voi olla renkaan nolla-alkio, millään alkioilla. Tutkielmassa käydään myös läpi kuntien ja polynomirenkaiden määritelmä, sillä niistä on hyödynnettävissä muutama esimerkki ja lause tutkielman loppua varten.
Kokonaisalueen määritelmää käyttäen käsitellään euklidisen renkaan määritelmä, jossa kokonaisalueelle määritellään astefunktio ja tämän astefunktion avulla määriteltävä jakoalgoritmi. Tämän jälkeen käsitellään euklidisten renkaiden ominaisuuksia kuten, että jokainen euklidinen rengas on pääideaalirengas sekä yleisen jakajan määritelmä. Lopuksi tutkielma päätetään näiden ominaisuuksien ja muutaman apulemman avulla päästävään Fermat’n kahden neliön lauseeseen, jonka mukaan pariton alkuluku p≡1 mod 4 jos ja vain jos on olemassa kokonaisluvut a ja b siten, että alkuluku p voidaan esittää lukujen a ja b neliöiden summana.
Kokonaisalueen määritelmää käyttäen käsitellään euklidisen renkaan määritelmä, jossa kokonaisalueelle määritellään astefunktio ja tämän astefunktion avulla määriteltävä jakoalgoritmi. Tämän jälkeen käsitellään euklidisten renkaiden ominaisuuksia kuten, että jokainen euklidinen rengas on pääideaalirengas sekä yleisen jakajan määritelmä. Lopuksi tutkielma päätetään näiden ominaisuuksien ja muutaman apulemman avulla päästävään Fermat’n kahden neliön lauseeseen, jonka mukaan pariton alkuluku p≡1 mod 4 jos ja vain jos on olemassa kokonaisluvut a ja b siten, että alkuluku p voidaan esittää lukujen a ja b neliöiden summana.
Kokoelmat
- Avoin saatavuus [31657]