Siirtyminen klassisesta mekaniikasta kvanttimekaniikkaan
Maaranen, Essi (2022-06-02)
Maaranen, Essi
E. Maaranen
02.06.2022
© 2022 Essi Maaranen. Ellei toisin mainita, uudelleenkäyttö on sallittu Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0) -lisenssillä (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). Uudelleenkäyttö on sallittua edellyttäen, että lähde mainitaan asianmukaisesti ja mahdolliset muutokset merkitään. Sellaisten osien käyttö tai jäljentäminen, jotka eivät ole tekijän tai tekijöiden omaisuutta, saattaa edellyttää lupaa suoraan asianomaisilta oikeudenhaltijoilta.
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/URN:NBN:fi:oulu-202206022519
https://urn.fi/URN:NBN:fi:oulu-202206022519
Tiivistelmä
Kvanttimekaniikka kehitettiin kuvaamaan niitä mikroskooppisia ilmiöitä, joita ei kyetty klassisen mekaniikan puitteissa selittämään. Tässä tutkielmassa klassisen mekaniikan formalismeista rajaudutaan käsittelemään keskenään ekvivalentteiksi osoitettavia Newtonin, Lagrangen sekä Hamiltonin mekaniikkaa. Näistä formalismeista Hamiltonin mekaniikkaan keskitytään eniten, sillä Hamiltonin funktiolla ja Poissonin sulkusuureilla esitetyllä Hamiltonin mekaniikan liikeyhtälöllä on selkeät vastineet kvanttimekaniikan formalismeissa.
Kvanttimekaniikan formalismeista puolestaan käsitellään keskenään ekvivalentteiksi osoitettavia Heisenbergin kuvaa sekä Schrödingerin kuvaa. Heisenbergin kuvan liikeyhtälö saadaan Poissonin sulkusuureilla ilmaistusta Hamiltonin mekaniikan liikeyhtälöstä korvaamalla siinä esiintyvä Poissonin sulkusuure kommutaattorilla sekä korvaamalla liikeyhtälössä esiintyvät funktiot kvanttimekaanisilla operaattoreilla. Schrödingerin kuvan yhtälöiden kehittämisessä oleellista on Hamiltonin operaattorin muodostaminen klassisen mekaniikan Hamiltonin funktiosta. Nämä kaksi formalismia voidaan osoittaa keskenään ekvivalenteiksi hyödyntämällä aikaevoluutio-operaattoria. Tällöin formalismien aikariippuvuuksia voidaan muokata, jolloin on mahdollista osoittaa, että molemmat formalismit antavat operaattoreille saman odotusarvon.
Kvanttimekaniikan formalismeista puolestaan käsitellään keskenään ekvivalentteiksi osoitettavia Heisenbergin kuvaa sekä Schrödingerin kuvaa. Heisenbergin kuvan liikeyhtälö saadaan Poissonin sulkusuureilla ilmaistusta Hamiltonin mekaniikan liikeyhtälöstä korvaamalla siinä esiintyvä Poissonin sulkusuure kommutaattorilla sekä korvaamalla liikeyhtälössä esiintyvät funktiot kvanttimekaanisilla operaattoreilla. Schrödingerin kuvan yhtälöiden kehittämisessä oleellista on Hamiltonin operaattorin muodostaminen klassisen mekaniikan Hamiltonin funktiosta. Nämä kaksi formalismia voidaan osoittaa keskenään ekvivalenteiksi hyödyntämällä aikaevoluutio-operaattoria. Tällöin formalismien aikariippuvuuksia voidaan muokata, jolloin on mahdollista osoittaa, että molemmat formalismit antavat operaattoreille saman odotusarvon.
Kokoelmat
- Avoin saatavuus [31657]