JultikaUniversity of Oulu repository

Tiivistelmä

Tämä tutkielma esittelee van der Waerdenin lauseen ja erään tavan todistaa se algebrallisesti. Lause väittää, että mielivaltaisesti äärelliseen määrään osajoukkoja ositetussa luonnollisten lukujen joukossa johonkin osajoukkoon sisältyy halutun mittainen (mutta äärellinen) aritmeettinen sarja. Usein tämä ilmaistaan myös luonnollisten lukujen värittämisenä ja yksivärisenä sarjana. Van der Waerden todisti lauseen kombinatoriikan avulla. Samoin ovat tehneet monet muut hänen jälkeensä.

Tässä tutkielmassa esitellään kuitenkin algebrallinen todistus. Vuonna 1978 Bergelson, Furstenberg, Hindman ja Katznelson julkaisivat todistuksen, joka käyttää luonnollisten lukujen kompaktisointia ja idempotentteja.

Ennen varsinaista todistamista esitellään tarvittavia apuneuvoja, kuten Zornin lemma, luonnollisten lukujen Stone–Čech-kompaktisointi βN sekä ideaalien ja idempotenttien ominaisuuksia. Avaruudesta βN ja ei-kommutatiiviseksi osoittautuvasta yhteenlaskusta muodostetaan puoliryhmä, lopulta kompakti Hausdorffin oikea topologinen puoliryhmä, jossa halutun mittaisen aritmeettisen sarjan olemassaolo jossakin osajoukossa saadaan lyhyesti todistetuksi.

Todistusta varten luodaan joukko kaikista halutun pituisista aritmeettisista sarjoista ja tämän joukon sulkeuma avaruudessa βN. Osoitetaan, että sulkeumaan sisältyy välttämättä idempotenttisarja ja tämä vastaa juuri etsittyä yksiväristä sarjaa.

Tämä idempotenttimenetelmä osoittautui hyvin käyttökelpoiseksi. Sillä todistettiin monia muitakin lauseita. Tutkielman lopussa esitellään esimerkkinä Hales–Jewettin lause ja sen todistaminen.

Tutkielman päälähteenä on Bergelsonin, Furstenbergin, Hindmanin ja Katznelsonin artikkeli An Algebraic Proof of van der Waerden’s Theorem. Tärkeimpänä apulähteenä on Hindmanin ja Straussin teos Algebra in the Stone–Čech Compactification.