University of Oulu

Kongruenssi

Saved in:
Author: Limma, Jenni1
Organizations: 1University of Oulu, Faculty of Science, Mathematics
Format: ebook
Version: published version
Access: open
Online Access: PDF Full Text (PDF, 0.2 MB)
Pages: 21
Persistent link: http://urn.fi/URN:NBN:fi:oulu-202212213863
Language: Finnish
Published: Oulu : J. Limma, 2022
Publish Date: 2022-12-21
Thesis type: Bachelor's thesis
Tutor: Myllylä, Kari
Description:

Tiivistelmä

LUK-tutkielmassa käsitellään kongruenssia. Kongruenssin avulla tutkitaan jakojäännöksiä. Näitä jakojäännöksiä voidaan laskea myös lineaarisen kongruenssin avulla. Lineaarisessa kongruenssissa on yksi kongruenssi, jossa on yksi muuttuja x. Lineaarisen kongruenssin voi ratkaista joko kokeilemalla, Diofantoksen yhtälön avulla tai etsimällä ratkaisut Eukleideen algoritmia käyttäen.

Diofantoksen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, jossa on kaksi muuttujaa, mutta vain yksi yhtälö. Diofantoksen yhtälössä etsitään siis kokonaislukuratkaisua. Kun kongruensseja on monta eli kyseessä on kongruenssiyhtälöryhmä, jossa on vain yksi muuttuja x ja kongruensseilla on eri modulot, voidaan ratkaisun löytämiseen käyttää Kiinalaista jäännöslausetta. Kiinalaisessa jäännöslauseessa on kuitenkin tärkeää, että kongruenssiyhtälöryhmän kongruenssien modulot ovat pareittain keskenään jaottomia. Kongruenssiyhtälöryhmälle löytyy tällöin yksikäsitteinen ratkaisu modulo M, joka on kongruenssien modulojen tulo.

Kongruensseissa voidaan hyödyntää myös alkulukuja. Kun kongruenssissa on mukana kertomia, Wilsonin lause on tällöin hyödyllinen, sillä sen avulla saadaan myös isoille kertomille helposti ratkaisu. Wilsonin lause kertoo, että jos p on alkuluku, niin luvun (p-1)! on kongruentti -1 kanssa modulo p. Kongruensseissa, joissa on eksponentteja ja varsinkin isoja eksponentteja, voidaan hyödyntää Fermat’n pientä lausetta. Fermat’n pienen lauseen mukaan alkuluvuilla p ja kokonaisluvuilla a, jotka ovat keskenään jaottomia, on voimassa kongruenssi, että luku ap-1 on kongruentti 1 kanssa modulo p.

see all

Subjects:
Copyright information: © Jenni Limma, 2022. This publication is copyrighted. You may download, display and print it for your own personal use. Commercial use is prohibited.