JultikaUniversity of Oulu repository

Tiivistelmä

Baire funktiot luokittelevat funktioita sen mukaan, miten jatkuvia tai epäjatkuvia ne ovat. Konstruktio aloitetaan jatkuvista funktioista, jotka muodostavat ensimmäisen Bairen luokan. Seuraavaan luokkaan siirrytään jatkuvista funktioista induktiivisesti tarkastelemalla pisteittäisiä raja-arvoja.

Ensimmäisessä ja toisessa luvussa määritellään Baire funktioiden luokittelussa oleellisessa osassa olevat käsitteet jatkuva funktio ja pisteittäinen raja-arvo. Lisäksi esitellään näiden ominaisuuksiin liittyvät oleelliset lemmat, joita tarvitaan tutkielman todistuksissa ja esimerkkien perusteluissa.

Kolmannessa luvussa keskitytään käsittelemään tiheän ja ei-missään tiheän joukon määritelmät sekä esimerkit tällaisista joukoista. Luvussa käsitellään myös ei-missään tiheän joukon ominaisuuksiin liittyvä lause sekä tämän lauseen todistus.

Neljännessä luvussa määritellään Bairen kategoriat sekä annetaan esimerkki ensimmäisen kategorian joukosta. Lisäksi esitellään lause, jossa käsitellään, millainen joukko kuuluu toiseen kategoriaan.

Viidennessä ja viimeisessä luvussa käsitellään tämän tutkielman varsinaita aihetta eli Baire funktioita. Aluksi määritellään Baire funktioiden luokittelu ja sen jälkeen esitellään ja todistetaan oleellinen lause, joka yhdistää Baire kategoria käsitteet ja Bairen funktioiden luokat. Tässä luvussa esitellään myös lemma, liittyen Baire funktioiden ominaisuuksiin sekä annetaan useita esimerkkejä Baire-0, Baire-1 ja Baire-2 luokkien funktioista.