Note on the Stern-Brocot sequence, some relatives, and their generating power series
Bundschuh, Peter; Väänänen, Keijo (2018-01-30)
Bundschuh, P., Väänänen, K. (2018) Note on the Stern-Brocot sequence, some relatives, and their generating power series, 30 (1), 195-202. doi:10.5802/jtnb.1022
© Société Arithmétique de Bordeaux, 2018. Published in this repository with the kind permission of the publisher.
https://rightsstatements.org/vocab/InC/1.0/
https://urn.fi/URN:NBN:fi-fe2019051015081
Tiivistelmä
Abstract
Three variations on the Stern-Brocot sequence are related to the celebrated Thue-Morse sequence. In the present note, the generating power series of these four sequences are considered. Whereas one of these was known to define a rational function, the other three are proved here to be algebraically independent over \(\mathcal{ℂ}(z)\). Then this statement is fairly generalized by including the functions \(Φ(z)\), \(Φ({-z})\), \(Ψ(z)\), \(Ψ(z^2)\), where \(Φ\) and \(Ψ\) denote the generating power series of the Rudin-Shapiro and Baum-Sweet sequence, respectively. Moreover, some arithmetical applications are given.
Résumé
Trois variantes de la suite de Stern-Brocot sont liées à la célèbre suite de Thue-Morse. Dans la présente note, les fonctions génératrices de ces quatre suites sont considérées. Tandis que l’une d’entre elles est connue comme étant rationnelle, l’indépendance algébrique sur \(\mathcal{ℂ}(z)\) des trois autres est démontrée ici. Puis, ce théorème est généralisé de sorte que les fonctions \(Φ(z)\), \(Φ({-z})\), \(Ψ(z)\), \(Ψ(z^2)\) sont aussi considérées, où \(Φ\) et \(Ψ\) indiquent les fonctions génératrices des suites de Rudin-Shapiro et de Baum-Sweet, respectivement. Quelques applications arithmétiques sont également données.
Kokoelmat
- Avoin saatavuus [32026]